J'ai rencontré ce problème en formation des maîtres à l'IUFM de Nantes. La généralisation en a été établie avec la complicité de mon beau-frère, grand mathématicien devant l'éternel, auquel je dois le terme "résection".

Voici la question initiale :

On écrit les nombres entiers de 1 à 100 sur cent bristols, un par bristol, et l'on place ces cartes dans un sac ; on effectue alors l'opération suivante :

Tirage de deux cartes marquées A et B ;
Calcul de la différence D (A-B ou B-A suivant le cas) ;
Elimination des deux cartes tirées et placement d'une carte portant le nombre D.

On répéte cette opération jusqu'à n'avoir plus qu'une seule carte, portant donc la dernière différence calculée.

Question : ce dernier nombre est il pair ? impair ? on ne peut pas dire ?

Un raisonnement assez simple sur les deux quantités suivantes :
le “nombre de cartes portant un nombre pair” NP
et le “nombre de cartes portant un nombre impair” NI,
suivi de l'étude de la façon dont la PARITE de chacun de ces nombres évolue à chaque étape,

fournira le résultat cherché. On pourra même montrer que, plus généralement, si N désigne le nombre de bristols en jeu (ici 100), ce résultat dépend uniquement du reste de la division de N par 4. L'étude mathématique de cette question, rédigée par R.Descombes, et typographiée par mes soins, est disponible : Pdf ou Oo4