Cette question m'a été posée à Dijon par mon collègue Marcuard. Il cherchait de telles matrices dans le cadre des chaînes de Markov, et avait l'intuition que le nombre cherché a un comportement asymptotique intéressant :

Combien existe-til de matrices carrées d'ordre n composées d'éléments de {0,1}
qui ne présentent aucune ligne ni aucune colonne ou figure la suite 0,0 ?

Pour commencer cette recherche, on peut s'intéresser aux suites de n éléments pris dans {0,1} qui respectent cette contrainte. Cherchons comment déduire le nombre de telles suites ayant (n+1) éléments de considérations sur le nombre de suites en comportant seulement n :

Classons les suites de n éléments suivant leur premier élément et comptons les ainsi :
il y en a z(n) qui commencent par 0 et u(n) qui commencent par 1.

Il est clair qu'alors on a les relations de récurrence : u(n+1)=u(n)+z(n) et z(n+1)=u(n). Ce bon vieux Fibonacci est de retour parmi nous...

Que ce soit par une méthode matricielle ou directement, on sait donc évaluer les nombres ainsi définis. La limite qui intéressait mon collègue est celle de la racine n-ième du nombre de suites, qui est le nombre d'or :

ou environ 1,6180339887498948482045868343656

J'avais à l'époque mis au point une méthode de comptage des matrices de rang n à l'aide d'une typologie des matrices de rang (n-1). Le nombre apparait comme la somme des éléments d'une matrice ce rang u(n+1), matrice qui se construit par un produit par blocs. Cela m'avait permis d'encadrer la limite de la racine n2-ième de ce nombre, mais pas suffisamment pour la trouver... Il me semble que la constante d'Euler n'était pas loin....